ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΘΙΚΙΩΝ

Η συγκεκριμένη διαφοροποίηση υλικών και η αξιοποίηση χειροπιαστών αντικειμένων δείχνουν στους μαθητές τον τρόπο εκτέλεσης των μαθηματικών διαδικασιών σύμφωνα με τις αρχές και τη φιλοσοφία  της διδασκαλίας μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες (Thyer and Maggs, 1992, Westwood, 1993, ΠΑΠΕΑ, 1999). Ακόμα παρέχει στους μαθητές συγκεκριμένες τακτικές για να βρουν τη λύση στα μαθηματικά προβλήματα (Behrend, 2003; Baroody, 1989) και υπάρχουν ενδείξεις ότι η ομάδα αυτών των μαθητών είναι σε θέση να επινοήσει τις δικές της στρατηγικές λύσης (Baroody, 1996; Behrend, 1994). Οι τρόποι με τους οποίους οι μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες χρησιμοποιούν τις  διαφοροποιήσεις των υλικών για να κατανοήσουν τα προβλήματα, προκαλούν αυτό που θεωρείται παραδεκτό στην ερμηνεία των διαδικασιών.

Οι διακρίσεις έχουν γίνει μεταξύ της εννοιολογικής και διαδικαστικής κατανόησης στα μαθηματικά. Η εννοιολογική γνώση αφορά στη «γνώση γιατί» και περιλαμβάνει την κατανόηση του δικτύου των μαθηματικών σχέσεων. Η διαδικαστική γνώση περιλαμβάνει τη «γνώση πώς» και αποτελείται από τη γνώση των συγκεκριμένων ακολουθιών διαδικασιών που πρέπει να γίνουν (Hiebert and Lefevre, 1986). Αυτή η διάκριση σχετίζεται πολύ με αυτό που ο Skemp (1976) περιέγραψε ως τη «συγγενική» και «οργανική» κατανόηση και αναγνώρισε τη σημασία και των δύο τύπων κατανοήσεων, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα με τους γεωγραφικούς χάρτες. Η οργανική κατανόηση περιλαμβάνει την κατοχή διάφορων σταθερών και ανεξάρτητων χαρτών, ενώ η συγγενική κατανόηση περιλαμβάνει την κατοχή ενός ενσωματωμένου νοερού - νοητικού  χάρτη.

Η σημασία της σχέσης μεταξύ της διαδικαστικής και εννοιολογικής κατανόησης και η έκταση στην οποία οι δάσκαλοι μπορούν και πρέπει να ενθαρρύνουν αυτήν τη σύνδεση έχει δοθεί με έμφαση στη διδασκαλία (Askew et al., 1997; Gray & Tall, 1993). Από αυτή την άποψη υπάρχουν δύο σημαντικές εκτιμήσεις σχετικά με τη χρήση των συγκεκριμένων υλικών στη διδασκαλία των μαθηματικών. Το πρώτο ζήτημα είναι ότι τα ίδια τα υλικά δε φέρνουν καμία πραγματική μαθηματική πληροφορία (Hiebert et al., 1997) και το δεύτερο αφορά την παιδαγωγική και τη διδακτική μεθοδολογία και τις διαφοροποιήσεις των υλικών που  χρησιμοποιούνται με οδηγίες. Με δεδομένο ότι υπάρχει έλλειμμα σαφούς και ενημερωμένης γνώσης και κατανόησης των δυσκολιών στη διδασκαλία των μαθηματικών, αλλά και το πιθανό ρόλο των διαφοροποιήσεων των συγκεκριμένων υλικών ως εργαλεία, μπορεί να αποδοθεί από τους δασκάλους, η αυτόνομη αξιοποίηση  από τους μαθητές ως εννοιολογική κατάκτηση. Αυτό έχει υποστηριχτεί από τις παραδοσιακές διδακτικές τοποθετήσεις στην υποστήριξη των μαθητών με μαθησιακές δυσκολίες μέσα σε ειδικά εκπαιδευτικά περιβάλλοντα, που έχουν καθοδηγηθεί από τις διαγνωστικές και θεραπευτικές προσεγγίσεις (Thomas and Loxley, 2007). Αυτές οι προσεγγίσεις έχουν οδηγήσει τους δασκάλους να αποσπώνται από αυτό που τα παιδιά κάνουν πραγματικά στην εκμάθηση τους και ενθαρρύνουν αντ' αυτού μια υπερ-εμπιστοσύνη στις αμφισβητήσιμες και μερικές φορές επιτακτικές παιδαγωγικές μεθοδεύσεις, που στη συγκεκριμένη χρονική περίοδο φαίνονται να είναι με κάποιο τρόπο μοναδικές και σχετικές με τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες (Thomas and Loxley, 2007).

Οι μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες εμμένουν με τη χρήση πρωτόγονης στρατηγικής στην επίλυση των αριθμητικών προβλημάτων (Geary, Hamson and Hoard, 2000; Jordan and Montani, 1997; Ostad, 1997, 1999) σε βάρος της ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης τους (Dowker, 2004; Baroody, 2003). Οι συνέπειες της διαφοροποίησης των συγκεκριμένων υλικών «ως δεκανίκια» αναδεικνύονται σε μερικές μελέτες, όπως αυτές του Ostad (1997, 1999) στις οποίες διαπίστωσαν ότι οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες εξαρτώνται από τα συγκεκριμένα υλικά παρά από τις διανοητικές στρατηγικές για να λύσουν τα μαθηματικά προβλήματα. Επιπλέον δεν απέρριψαν αυτά τα υλικά και συνέχισαν τις διανοητικές στρατηγικές στην επίλυση των αριθμητικών προβλημάτων. Ο βαθμός αυτής της απροθυμίας να εγκαταλείψουν τα συγκεκριμένα υλικά και η εμμονική αξιοποίηση απαιτεί επανεκτίμηση ως προς το ζήτημα των διδακτικών οδηγιών. Η υπερ-εμπιστοσύνη στα συγκεκριμένα υλικά ως χειροπιαστά αντικείμενα για την παραγωγή των σωστών απαντήσεων είναι προβληματική, δεδομένου ότι μπορεί να περιορίσει την πρόοδο των παιδιών προς αποδοτικότερες στρατηγικές που εμφανίζονται μέσω της ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης (Carpenter and Moser, 1982).

Δομημένα διδακτικά προγράμματα ΕΑΕ και εκπαίδευσης και σκέψη δομισμού (κονστρουκτιβισμός)

Τα δομημένα διδακτικά προγράμματα βασίζονται στη θεωρία του δομισμού (κονστρουκτιβισμού), η οποία υποστηρίζει ότι η γνώση δομείται ενεργά από το μαθητή. Η ιδέα ότι η εκμάθηση των μαθηματικών πρέπει να είναι μια ουσιαστική διαδικασία έχει υποστηριχτεί πειστικά (Twomey-Fosnot and Dolk, 2001; Anghileri, 2000; Fennema and Romberg, 1999; Hiebert et al., 1997) από τη θεωρία του δομισμού, με την έρευνα με πρακτική στις τάξεις (Watson, 1996) η οποία έχει δείξει την αποτελεσματικότητα των δομημένων διδακτικών προγραμμάτων ειδικής αγωγής και εκπαίδευσης με την επιλογή των προσεγγίσεων του δομισμού σε μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες και ο Watson (2001) έχει απαιτήσει την ανάπτυξη των πρακτικών αυτών μέσα στο πρόγραμμα σπουδών.

Από αυτήν την άποψη, η αποτελεσματική εκμάθηση έχει να κάνει με τη σύνθεση μαθηματικών σχέσεων από τα ίδια τα παιδιά (Twomey-Fosnot and Dolk, 2001, Carpenter et al., 1999; Askew et al., 1997). Η διαφοροποιημένη χρήση των συγκεκριμένων υλικών για να χτίσουν μαθηματικές έννοιες είναι σύμφωνη με τη φιλοσοφία του δομισμού όταν ο εξοπλισμός χρησιμοποιείται από τους μαθητές για να κατανοήσουν τα προβλήματα (Carpenter et al., 1999). Ο βαθμός στον οποίο σε όλους τους μαθητές, συμπεριλαμβανομένων εκείνων με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες, παρέχονται οι ευκαιρίες για να χρησιμοποιήσουν τα υλικά με τρόπους που υποστηρίζουν τη σύνθεση αυτών των σχέσεων, μπορεί να συνδεθεί με τη γνώση και τις πεποιθήσεις των δασκάλων όχι μόνο για τους μαθητές (Yackel and Rasmussen, 2003; Franke and Kazemi, 2001; Carpenter et al., 1989) αλλά και για την παιδαγωγική (Carpenter et al., 1989; Shulman, 1986).

Στην έκθεση τους σχετικά με την αποτελεσματική διδασκαλία του επιπέδου μαθηματικών γνώσεων, ο Askew et al. (1997) προσδιόρισε τους αποτελεσματικότερους δασκάλους του επιπέδου μαθηματικών γνώσεων ως «συνδετικούς κρίκους». Οι δάσκαλοι ως συνδετικοί κρίκοι καταδεικνύουν μια κατανοητή προσέγγιση στην εκμάθηση των μαθηματικών που έχει τις ρίζες της στο δομισμό και αντιμετωπίζουν την εκμάθηση των μαθηματικών λιγότερο ως απλή αφομοίωση και ανάκτηση δεδομένων αριθμών αλλά περισσότερο ως συνειδητή διαδικασία που οι μαθητές κατανοούν τις σχέσεις μέσα στο σύστημα των αριθμών και θεμελιώνουν συνδέσεις μεταξύ των εννοιών και των διαδικασιών. Αυτό το πρότυπο της διδασκαλίας λαμβάνει υπόψη τη διαφορά μεταξύ της μαθηματικής κατανόησης των δασκάλων και αυτής των μαθητών (Bills, 1998) και η ειδική αγωγή και εκπαίδευση χαρακτηρίζεται από την εκμάθηση στοιχείων μέσα από εστιασμένες συζητήσεις μεταξύ των ίδιων των μαθητών και μεταξύ των μαθητών και του Δασκάλου.

Η πρόκληση των Διαφοροποιήσεων στη Διδασκαλία  των Μαθηματικών Εννοιών και Πράξεων

Οι διδακτικές διαφοροποιήσεις αξιοποιούν μια ποικιλία σειράς υλικών και οπτικών βοηθημάτων διαθέσιμων για να δίνονται μαθηματικές οδηγίες στις τάξεις. Αυτές περιλαμβάνουν συγκεκριμένα υλικά ή έτοιμα προς χρήση υλικά όπως οι κύβοι unifix, multilink blocks (σφηνοτουβλάκια), υλικό Dienes ή base ten materials (υλικά με βάση τη δεκάδα), numberlines (αριθμογραμμές) και hundred squares (τετράγωνα με βάση το εκατό).

Πίνακας (1). Διδακτικές διαφοροποιήσεις σε υλικά για τα μαθηματικά

Η πρόκληση για τους καθηγητές στην τάξη είναι πώς να συνθέσουν τα μαθήματα έτσι ώστε οι μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες να συμμετέχουν στις μαθηματικές δραστηριότητες, να ενθαρρύνονται να κατανοήσουν τα μαθηματικά που μαθαίνουν, ενώ συγχρόνως να προσπαθούν να αναπτύξουν τις βασικές δεξιότητες που απαιτούνται κάθε φορά λαμβάνοντας τα αναμενόμενα αποτελέσματα (Bottgeetal., 2007). Τα παιδιά μπορούν αρχικά να χρησιμοποιήσουν τα συγκεκριμένα υλικά για να κατανοήσουν τα προβλήματα, αλλά είναι αναποτελεσματική διδακτική μεθοδολογία η αξιοποίηση έτοιμων μη διαφοροποιημένων υλικών απλώς ως δεκανίκια με σκοπό την εκτέλεση μιας διαδικασίας, χωρίς να έχουν ενταχθεί στη δόμηση των διδακτικών προγραμμάτων Ειδικής Αγωγής και Εκπαίδευσης, όταν μάλιστα γνωρίζουμε ότι τα παιδιά κατανοούν τα προβλήματα όταν μπορούν να σκεφτούν τις ενέργειες τους (Clements, 1999). Οι εμπειρικές μελέτες έχουν δείξει ότι τα παιδιά θα χρησιμοποιήσουν τα έτοιμα προς χρήση υλικά χωρίς προγενέστερη επίσημη οδηγία ως εργαλεία για να βγάλουν νόημα με τις λέξεις του προβλήματος, φτιάχνοντας τη γλώσσα του προβλήματος (Carpenter, Fennema, Franke, LeviandEmpson, 1999). Αυτές οι αρκετά διαφορετικές χρήσεις των εργαλείων μελετώνται με την προσοχή στραμμένη στην παρατήρηση στην τάξη σε μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες.

Τα Δεδομένα του Άρθρου

Τα στοιχεία που μελετήθηκαν σε αυτό το άρθρο, συλλέχθηκαν ως μέρος μιας πολύ μεγαλύτερης μελέτης με έμφαση τα στοιχεία συστηματικής παρατήρησης για αυτό που έκαναν τα παιδιά με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες με τα υλικά, για να απαντήσουν στα προβλήματα που σχεδιάστηκαν από τους δασκάλους τους. Παράλληλα, μελετήθηκαν τα στοιχεία από συνεντεύξεις με δασκάλους που περιγράφουν τη λειτουργία των συγκεκριμένων διαφοροποιημένων υλικών στη διδασκαλία τους.

Παρατηρήσεις στην τάξη και συνεντεύξεις με τους δασκάλους ΕΑΕ

Οι συστηματικές παρατηρήσεις πραγματοποιήθηκαν σε τρία ειδικά σχολεία πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης στη Σκωτία για μαθητές με μέτριες δυσκολίες μάθησης. Η Γνωστική Καθοδηγητική Οδηγία (Cognitively Guided Instruction) (CGI) (Carpenteretal, 1999) αξιοποιήθηκε στο παιδαγωγικό και διδακτικό πλαίσιο που χρησιμοποιήθηκε ως μέρος  στο δομημένο διδακτικό πρόγραμμα στα μαθηματικά με τους συμμετέχοντες δασκάλουςειδικής αγωγής και εκπαίδευσης. Η Γνωστική Καθοδηγητική Οδηγία στη διδακτική έχει αναπτυχθεί στη Μεγάλη Βρετανία στις περιοχές Μάντισον, Ουισκόνσιν κατά τη διάρκεια των τελευταίων 25 ετών ως μια παιδαγωγική μεθοδολογία στην αντιμετώπιση των λεκτικών προβλημάτων στις μαθηματικές οδηγίες. Αυτή βασίζεται στην έρευνα της μαθηματικής σκέψης των παιδιών και στο πώς αυτή η σκέψη απεικονίζεται στις λύσεις των παιδιών στα προβλήματα που τίθενται.

Δώδεκα δάσκαλοι συμμετείχαν στην ανάπτυξη των δομημένων προγραμμάτων με πλήρη ημερήσια υπηρεσία στο σχολείο. Μέσα σε αυτόν το διατιθέμενο χρόνο οι δάσκαλοι εισήχθησαν στους διαφορετικούς τύπους χρήσης λέξεων στα μαθηματικά προβλήματα και στο πώς οι στρατηγικές λύσης των παιδιών αφορούσαν σε αυτούς τους τύπους προβλήματος. Στο πλαίσιο των ομαδικών δραστηριοτήτων σύμφωνα με την εφαρμογή της Γνωστικής Καθοδηγητικής Οδηγίας CGI, κάθε δάσκαλος κατέγραψε την ενασχόληση των μαθητών μέσα στην τάξη του. Οι δάσκαλοι είχαν την πλήρη αυτονομία στο σχεδιασμό και τη διαχείριση αυτών των προγραμμάτων. Αυτές οι εκθέσεις των δασκάλων υποστηρίχθηκαν από τις παρατηρήσεις ερευνητών για την πρακτική μέσα στις τάξεις. Πριν από την εφαρμογή της CGI στην πράξη οι δάσκαλοι πέρασαν από συνέντευξη για τη διαφοροποιημένη χρήση των συγκεκριμένων υλικών με μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες

Παραδείγματα Αριθμητικών Προβλημάτων με Λέξεις και Καταγραφή των Απαντήσεων των Μαθητών

Η προβληματική φύση των διαφοροποιήσεων με συγκεκριμένα υλικά και χειροπιαστά αντικείμενα έχει σημειωθεί στην ανάπτυξη της διαδικαστικής ικανότητας, όμως αυτά τα υλικά αξιοποιήθηκαν από τους μαθητές ως εργαλεία για να αναπτύξουν ενεργά τη σκέψη τους στην προσπάθεια να κατανοήσουν τα μαθηματικά προβλήματα και να τα επιλύσουν (Hiebertetal., 1997). Τα ακόλουθα παραδείγματα από τη συστηματική παρατήρηση στην τάξη δείχνουν πώς οι μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες χρησιμοποίησαν τα έτοιμα προς χρήση υλικά και σε κάποιες περιπτώσεις έκαναν γραφική αριθμητική αναπαράσταση ώστε να λύσουν τα προβλήματα με τις λέξεις όπως περιγράφονται από τον Carpenteretal. (1999).

Το πρόβλημα του Γιώργου (CharlieBucket)

29- (4 x 5) = y

Η παραπάνω εξίσωση θα ήταν βεβαίως μια πρόκληση και ίσως ένα απίθανο πρόβλημα εάν το παρουσιάζαμε σε ένα μαθητή με μαθησιακές δυσκολίες χωρίς προγενέστερη εμπειρία στα προβλήματα πολλαπλασιασμού, πόσο μάλλον σύνθετων αριθμητικών προβλημάτων. Όμως όταν παρουσιάστηκε σε αυτό το πλαίσιο:

«Ο Γιώργος είχε 29 γλυκά. Έδωσε στα άλλα 4 παιδιά 5 γλυκά στο κάθε ένα Πόσα γλυκά είχε αφήσει; », λύθηκε χωρίς προβλήματα.

Μέσω της εξοικείωσης που είχε με τη γλώσσα του προβλήματος και της χρησιμοποίησης των υλικών για να αναπτύξει την ιστορία ο μαθητής έφθασε σε μια λύση. Η έκθεση και τα φωτογραφικά στοιχεία του δασκάλου δείχνουν ότι ο μαθητής μέτρησε 29 μικρούς ανθρώπους, έκανε τέσσερα σύνολα των πέντε και έπειτα μέτρησε τα υπόλοιπα εννέα στοιχεία. Ακολουθώντας τη γλώσσα του προβλήματος κατά αυτόν τον τρόπο, τα υλικά χρησιμοποιήθηκαν για την κατανόηση του προβλήματος. Ο μαθητής όχι μόνο βρήκε τη σωστή απάντηση αλλά άρχιζε επίσης να εξοικειώνεται σε ένα μετρήσιμο επίπεδο (Anghileri, 2000), με μαθηματικές έννοιες στις οποίες δεν είχε εισαχθεί τυπικά, στη συγκεκριμένη περίπτωση τον πολλαπλασιασμό.

Το πρόβλημα της Νικολέτας (VerrucaSalt)

Ένας δάσκαλος της έκτης τάξης έδωσε το ακόλουθο πρόβλημα:

«Η Νικολέτα προέρχεται από μια πολύ πλούσια οικογένεια. Έχει 93 κούκλες! 48 από τις κούκλες της έχουν ξανθά μαλλιά. Πόσες δεν έχουν;»

Μια παραδοσιακή προσέγγιση στην επίλυση αυτού του προβλήματος θα περιλάμβανε τη χρήση υλικού από τους μαθητές για να αναπαραστήσουν τα ποσά (ThyerandMaggs, 1992). Αυτό θα μπορούσε να γίνει χρησιμοποιώντας υλικά με βάση τη 10άδα και ένα διάγραμμα δεκάδων και μονάδων. Οι μαθητές θα καθόριζαν έπειτα 9 δεκάδες και 3 μονάδες. Μετά από υπόδειξη θα κινούσαν μια από τις δεκάδες στη στήλη των μονάδων, ανταλλάσσοντας την για 10 μεμονωμένες μονάδες. Οι μαθητές θα διδάσκονταν έπειτα να αφαιρέσουν 8 από αυτήν τη δέσμη των 13 και να αφαιρέσουν 4 από τη δέσμη των 8 δεκάδων, καταλήγοντας στη σωστή απάντηση.

Το πρόβλημα της εννοιολογικής κατανόησης, εστιάζεται στο αν ένας μαθητής είναι πραγματικά σε θέση να ακολουθήσει τη συγκεκριμένη σειρά των βημάτων προκειμένου να παραχθούν οι σωστές απαντήσεις. Δηλαδή, θα έχει καταλάβει ο μαθητής το λόγο που μετακίνησε μια από τις δεκάδες και την αντάλλαξε για 10 μονάδες; Η εργασία με τα συγκεκριμένα υλικά με αυτόν τον τρόπο που περιγράφηκε αποτελεί μια συνεχή αναθεώρηση αυτών των διαδικασιών που είχαν διδαχθεί με την ελπίδα ότι αυτό θα οδηγήσει στη δυνατότητα να είναι σε θέση ο μαθητής να εργαστεί πιο αφηρημένα με τους αριθμούς. Η παραδοσιακή διδακτική προσέγγιση της αριθμητικής που εστιάζει στις διαδικαστικές δεξιότητες, δηλαδή μόλις τα παιδιά μάθουν καλά το χειρισμό των συγκεκριμένων υλικών σε έναν πίνακα, μαθαίνουν έπειτα πώς να αναπαραστήσουν αυτήν την ακολουθία χειρισμού, ή με άλλα λόγια, αυτό που έχει αναφερθεί ως «ο χορός των συμβόλων» (Davis, 1996).

Αυτή η μέθοδος διδασκαλίας είναι συστηματική, μπορεί να αναλυθεί σε μικρά βήματα και μπορεί να διευκολύνει τη δυνατότητα εκτέλεσης μιας συγκεκριμένης διαδικασίας. Χρησιμοποιεί εκπαιδευτικές προσεγγίσεις που προέρχονται από τα πρότυπα των γνωσιοσυμπεριφοριστών που αποτελούνται από μια ακολουθία συγκεκριμένων βημάτων διευκολύνοντας την τοποθέτηση στόχων. Οι μαθητές ασχολούνται με την αφαίρεση μέχρι το 10, έπειτα πέρα από το 10, χωρίς αποδόμηση των αντικειμένων και έπειτα με την αποδόμηση. Τα πιο δύσκολα προβλήματα εννοιολογικά παρουσιάζονται στους μαθητές με την ενιαία πρόοδο ψηφίων στις δεκάδες και τις μονάδες που οδηγεί στη συνέχεια στην εργασία με τις δεκάδες και τις μονάδες εκατοντάδων και με μεγαλύτερους αριθμούς.

Ένα περαιτέρω ζήτημα στο προηγούμενο παράδειγμα είναι η παρουσίαση στα παιδιά της λύσης ενός προβλήματος με τη διαδικασία της αφαίρεσης, καθώς μπορεί να αγνοηθεί ότι μερικά παιδιά μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα με το να μετρήσουν από το 48 και πάνω, αναζητώντας το συμπλήρωμα ή μερικά παιδιά μπορεί ακόμη και να χρησιμοποιήσουν τα υλικά για να παρακολουθήσουν τον υπολογισμό τους.

Ας παρακολουθήσουμε την προσπάθεια του Τάσου (Malcolm), ενός δεκάχρονου μαθητή με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες, στην επίλυση του προβλήματος της Νικολέτας (VerrucaSalt). Αρχικά ο Τάσος (Malcolm) αναγνώρισε ότι το πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί με αφαίρεση και αποκρίθηκε ξεκινώντας με τον τυποποιημένο αλγόριθμο όπως είχε καθοδηγηθεί προηγουμένως. Αυτή η διαδικασία που διδάχτηκε ήταν η προεπιλογή του για να ξεκινήσει. Εντούτοις, μόλις καθόρισε τα σύμβολα ο Τάσος (Malcolm) ήταν ανίκανος να θυμηθεί τι επρόκειτο να κάνει έπειτα. Στη συνέχεια καταπιάστηκε με τον άμεσο σχηματισμό λύσης στο πρόβλημα χωρίς να έχει καμία στρατηγική που θα του επέτρεπε να παρακολουθήσει το μέτρημα, συνειδητοποίησε την ανεπάρκεια της μεθόδου του και σταμάτησε. Σε αυτό το πρόβλημα ο Τάσος (Malcolm) προφανώς δεν είχε καταλάβει μια διαδικασία διδασκαλίας και γύρισε πίσω σε μια ανεπαρκή και τελικά ατελέσφορη στρατηγική μετρήματος. Αυτό το παράδειγμα δίνει έμφαση στη σημασία της σύνδεσης του διαδικαστικού και του εννοιολογικού και του ρόλου του δασκάλου στην παροχή των κατάλληλων ευκαιριών εκμάθησης που ενθαρρύνουν αυτές τις συνδέσεις και την ανάπτυξη αποδοτικότερων στρατηγικών υπολογισμού.

Η Συζήτηση των Καταγραφών από την Αξιολόγηση της Διδακτικής Παρέμβασης με Θέμα την Αξιοποίηση της Δομημένης Γνώσης & των Στρατηγικών Επίλυσης Αριθμητικών Προβλημάτων από τα Παιδιά.

Σε συζήτηση ο δάσκαλος της τάξης εξέφρασε την ανησυχία ότι ο Τάσος (Malcolm) είχε ξεχάσει την προηγούμενη διδαχθείσα διαδικασία. Εντούτοις, σε απάντηση στην προσπάθεια του Τάσου (Malcolm) ο δάσκαλος έμαθε ότι έπρεπε να είναι σε θέση να δουλέψει με τις ομάδες των 10 και να μετρήσει στις δεκάδες. Ο δάσκαλος ανέπτυξε έπειτα προβλήματα για τον Τάσο(Malcolm) που ενθάρρυναν την εργασία με τα σύνολα των 10.

Ένα απλούστερο πρόβλημα διαχωρισμού δόθηκε σε μερικούς από την τάξη: «Υπάρχουν 27 παιδιά στο λεωφορείο. 6 από αυτά κατεβαίνουν. Πόσα παιδιά είναι ακόμα στο λεωφορείο;». Ένας μαθητής έλυσε το πρόβλημα. Υπάρχει μια εντυπωσιακή ομοιότητα στο πώς αυτός ο μαθητής και ο Τάσος (Malcolm) διαμόρφωσαν άμεσα το πρόβλημα. Και οι δύο δούλεψαν με τα σύνολα των 10 και στη λύση του  Τάσου (Malcolm) έχει σημειώσει τα σύνολα των 10 και έχει συμπεριλάβει επίσης την αριθμητική πρόταση που αντιπροσωπεύει το πρόβλημα. Η λύση του  Τάσου (Malcolm) με τα σύνολα των 10 που σημειώνονται με διαγραφή καταδεικνύει τη δυνατότητα να προχωρήσει από αυτήν την εκτεταμένη γραφική αναπαράσταση προς αποδοτικότερες και πιο αφηρημένες στρατηγικές μετρήματος. Η εμπειρία με τα υλικά για να διαμορφώσει προβλήματα τον ενθάρρυνε να συνδέσει την εννοιολογική και διαδικαστική κατανόηση του και ενθάρρυνε τη λύση δυσκολότερων προβλημάτων αφαίρεσης με την κατανόηση παρά απλά με την προσπάθεια να θυμηθεί μια διαδικασία διδασκαλίας.

Κάποιοι μαθητές αναγνώριζαν το σκοπό των υλικών ως εργαλεία κατανόησης και μάθαιναν μεταξύ τους. Όταν τους δόθηκε το πρόβλημα: «Η ΑΕΚ έπαιξε με την Παναχαϊκή για το κύπελο. Το παιχνίδι διάρκεσε 90 λεπτά. Η ΑΕΚ είχε την μπάλα για 56 λεπτά. Για πόσο είχε η Παναχαϊκή την μπάλα;» Ο Τάσος (Malcolm) ενθάρρυνε έναν άλλο μαθητή, τον Πέτρο(Pat) που είχε κάνει ένα λάθος στο διανοητικό υπολογισμό του, να διαμορφώσει μια λύση. Τα ακόλουθα σχόλια καταγράφηκαν από το δάσκαλο,

- Πέτρος(Pat): «Είναι 33. Άρχισα από το 90 και μέτρησα με δεκάδες ως το 50. Έπειτα μέτρησα 3 μονάδες ως το 33.»

- Τάσος (Malcolm): «Όχι, σκέψου Pat ότι είναι 90 λεπτά, το έκανα με τις δεκάδες (υλικά με βάση τη 10άδα). Έβγαλα 56, είναι 34.»    

Ο Πέτρος(Pat) το έλεγξε χρησιμοποιώντας τα υλικά και συμφώνησε. Αυτό το επεισόδιο καταδεικνύει τη σημαντική διαφορά στο πώς και οι δύο μαθητές αντιλήφθηκαν τη λειτουργία των συγκεκριμένων υλικών. Ο Πέτρος (Pat) ήταν απρόθυμος να χρησιμοποιήσει τα υλικά δεδομένου ότι τα αντιλήφθηκε ως «μωρουδίστικα», μια υποστήριξη ή ένα δεκανίκι που δε χρειαζόταν πλέον. Ο Τάσος (Malcolm) από την άλλη χρησιμοποιούσε τον εξοπλισμό ως εργαλείο για να κατανοήσει τα προβλήματα και τα αξιοποίησε επιλεκτικά ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Περαιτέρω στοιχεία που συγκεντρώθηκαν από το δάσκαλο έδειξαν ότι η ενθάρρυνση του Τάσου(Malcolm) οδήγησε τον Πέτρο(Pat) προς μια πιο ευέλικτη χρήση των συγκεκριμένων υλικών.

Εκθέσεις Δασκάλων ΕΑΕ για τη Διαφοροποίηση Υλικών και την Αξιοποίηση Χειροπιαστών Αντικειμένων

Οι συνεντεύξεις με τους δασκάλους των τάξεων, αποκάλυψαν ότι θεώρησαν τη χρήση των συγκεκριμένων υλικών ως ένα σημαντικό πόρο για τις μαθηματικές οδηγίες στους μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες, αλλά δεν υπήρξε κανένα στοιχείο που να δείχνει ότι η λειτουργία αυτών των υλικών ήταν εμπεδωμένη. Με άλλα λόγια, οι δάσκαλοι δεν έδωσαν περιγραφές των υλικών που χρησιμοποιήθηκαν από τους μαθητές δείχνοντας τρόπους που τους βοήθησαν για να αναπτύξουν την κατανόηση των μαθηματικών προβλημάτων, αλλά υπογράμμισαν τη σημασία των συγκεκριμένων υλικών ως χειροπιαστά αντικείμενα στην άσκηση γνωστών διαδικασιών παρά στην έρευνα και τον καθορισμό λύσεων:

• «Τα συγκεκριμένα υλικά διαφοροποιούνται διδακτικά και χρησιμοποιούνται για πρακτική.»
• «Τα παιδιά θα τα χρησιμοποιούσαν [συγκεκριμένα υλικά] για να βρουν την απάντηση στην πρόσθεση που κάνουν.»
• «Χρησιμοποιούνται σαν δεκανίκι για να αρχίσουν, αποκτώντας εμπιστοσύνη.»
• «Θα τους κάνω επίσης να το κάνουν αυτό [στη διδασκαλία της αλλαγής της σειράς των ψηφίων χωρίς να αλλάζει το αποτέλεσμα] με τα συγκεκριμένα υλικά.»

Οι Δάσκαλοι περιέγραψαν επίσης τις διαφοροποιήσεις στα υλικά και στα χειροπιαστά αντικείμενα που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να καταδείξουν μια ιδιαίτερη διαδικασία για τους μαθητές στην αναπαράσταση. Διάφοροι δάσκαλοι περιέγραψαν τη χρήση των υλικών με βάση τη 10άδα για να παρουσιάσουν στα παιδιά πώς να πραγματοποιήσουν συγκεκριμένες διαδικασίες για την πρόσθεση και την αφαίρεση.

• Διδακτική πρακτική: «Τα παιδιά μαζεύονται γύρω και εγώ παρουσιάζω ένα ή δύο παραδείγματα ο ίδιος και έπειτα κάθε ένα από τα παιδιά έχουν την ευκαιρία να δοκιμάσουν τα υλικά και βλέπουμε τα παραδείγματα από κοινού.»
• «Εάν μπορείτε να επεξηγήσετε [μια λειτουργία] μαζί με τα συγκεκριμένα υλικά, αυτό θα υποστηρίξει την εκμάθησή τους.»
• «Χρησιμοποιούμε τα πρακτικά υλικά και θα το έκανα, πρώτα παρουσιάζοντας τους πώς να το κάνουν.»
• «Θα τα χρησιμοποιούσατε για να τους δείξετε και θα έκαναν πρακτική αυτού;»
• «[Εγώ]  πρέπει να τους δείξω η ίδια πώς να χρησιμοποιήσουν τα συγκεκριμένα υλικά»

Τα συγκεκριμένα υλικά περιγράφηκαν από τους περισσότερους από τους δασκάλους ως τμήμα μιας προόδου βοηθημάτων. Ποικίλα χειροπιαστά αντικείμενα αποτέλεσαν υπολογιστικά βοηθήματα παραδείγματος χάριν: συγκεκριμένα υλικά, αριθμογραμμές (numberline), τετράγωνα με βάση το εκατό (hundredsquares) και πλέγματα πολλαπλασιασμού. Διάφοροι δάσκαλοι στόχευσαν να παρακινήσουν τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν ένα βοήθημα και ύστερα ένα διαφορετικό - το πώς οι μαθητές χρησιμοποίησαν πραγματικά αυτά τα βοηθήματα δεν ήταν μέρος της διδασκαλίας. Η χρήση των ιδιαίτερων βοηθημάτων θεωρήθηκε ότι αντιπροσωπεύει μια «στρατηγική», παρά η περιγραφή της στρατηγικής από την άποψη της διαδικασίας που χρησιμοποιήθηκε από το μαθητή. Έτσι, στις εκθέσεις της χρήσης των αριθμογραμμών για την πρόσθεση και την αφαίρεση, οι σωστές απαντήσεις θα προσεγγίζονταν με το να μετρήσουν προς τα επάνω ή προς τα πίσω το σωστό αριθμό βημάτων. Τα τετράγωνα με βάση το εκατό χρησιμοποιήθηκαν για τη διδασκαλία «της πρόσθεσης σε 10»· Υπήρξαν στοιχεία από μαθητές που τους έδειξαν ότι η απάντηση θα μπορούσε να βρεθεί «κατεβαίνοντας» μια γραμμή, ομοίως η αφαίρεση από το 10 θα σήμαινε να διαβάσουν τη γραμμή «ανεβαίνοντας». Τα προβλήματα πολλαπλασιασμού θα μπορούσαν να λυθούν με το ταίριασμα των αντίστοιχων αριθμών στους άξονες του πλέγματος. Κάθε μια από αυτές τις διαδικασίες, εάν εκτελούνταν σωστά, θα οδηγούσε στις σωστές απαντήσεις, αλλά οι μαθητές δεν θα καταλάβαιναν απαραιτήτως τις βαθύτερες μαθηματικές έννοιες που διδάσκουν. Οι ακόλουθες εκθέσεις δείχνουν αυτήν την άποψη για τον εξοπλισμό ως τμήμα μιας εκπαιδευτικής ακολουθίας με την αυτονομία να βρίσκεται στο δάσκαλο:

• Διδακτική πρακτική: «Οι μαθητές θα ταξινομούσαν γενικά το υλικό για να αρχίσουν, κατόπιν θα πήγαιναν στα τουβλάκια και έπειτα στις αριθμογραμμές.»
• «Εάν οι μαθητές χρησιμοποιούν τους κύβους προσπαθώ να τους προχωρήσω στις αριθμογραμμές.»
• «Πρέπει να τους εισαγάγετε σε άλλες στρατηγικές, θα χρησιμοποιούσατε μία αριθμογραμμή.»
• «Ποιος αποφασίζει; Εγώ αποφασίζω, εγώ εργάζομαι μαζί τους, ξέρω σε ποιο επίπεδο είναι.»
• «Έχουμε προφανώς υλικά για μετρήσεις, κύβους, δεινόσαυρους, αρκουδάκια και διάφορα πράγματα όπως αυτά, που πιστεύω ότι μπορούν να καλύψουν όταν έχουμε να κάνουμε με την πρόσθεση και την αφαίρεση.»

Η Χρήση της Διαφοροποίησης των Υλικών Αξιοποιείται ως Εργαλεία ή Δεκανίκια στην Δομημένη Διδακτική Παρέμβαση στην Αριθμητική;

Τα δεδομένα, οι πληροφορίες για τη διδακτική διαφοροποίηση των υλικών μετά από τη συστηματική παρατήρηση στην τάξη και οι συνεντεύξεις των δασκάλων έδειξαν ότι οι δάσκαλοι και οι μαθητές χρησιμοποίησαν τα συγκεκριμένα υλικά με διαφορετικούς τρόπους. Οι μαθητές έδειξαν ότι ήταν σε θέση να χρησιμοποιήσουν τα υλικά με ένα λογικό τρόπο. Παραδείγματος χάριν, αν και ο Τάσος (Malcolm) «κολλούσε» στο πρόβλημα της Νικολέτας (VerrucaSalt) θα προσπαθούσε ακόμα να το κατανοήσει. Η συζήτηση με τους δασκάλους, εντούτοις, έδειξε ότι δεν είχαν εξετάσει τη χρήση των υλικών κατ?  αυτόν τον τρόπο. Αντίθετα, χρησιμοποίησαν τα συγκεκριμένα υλικά για να καταδείξουν τις διαδικασίες στους μαθητές, ώστε αυτοί να τις πράξουν. Αναμφισβήτητα η χρήση των υλικών σε αυτήν την τελευταία λειτουργία περιορίζει τους μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες στη χρησιμοποίηση των υλικών με πιο ευέλικτους τρόπους.

Μια διαφοροποίηση που γίνεται μεταξύ των εργαλείων και των δεκανικιών αφορά στην επιλογή και στην εξάρτηση. Σε μια τάξη δομισμού οι μαθητές καθορίζουν τις δικές τους στρατηγικές λύσης και οι δάσκαλοι υιοθετούν παιδαγωγικές που υποστηρίζουν την ευέλικτη ανταπόκριση από τους μαθητές (Carpenteretal., 1999). Ο περιορισμός αυτής της επιλογής μπορεί να οδηγήσει την αντίληψη των μαθητών στο ότι υπάρχει μια μοναδική σωστή διαδικασία που έχει εξηγηθεί από το δάσκαλο και που πρέπει να εκτελεσθεί προκειμένου να φθάσει σε μια σωστή λύση. Από αυτή την άποψη τα υλικά μπορούν να θεωρηθούν χρήσιμα χειροπιαστά αντικείμενα στις τάξεις με τρεις διαφορετικούς τρόπους: ως κατανοητά εργαλεία, ως αποδεικτικά εργαλεία και ως υπολογιστικά εργαλεία. Από μια προοπτική δομισμού υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των μαθητών που χρησιμοποιούν τα υλικά ως κατανοητά εργαλεία και των δασκάλων που χρησιμοποιούν τα υλικά ως αποδεικτικά εργαλεία για να αναπτύξουν μια διαδικασία που οδηγεί συνεπώς τους σπουδαστές να χρησιμοποιήσουν τα υλικά ως υπολογιστικά εργαλεία με τα οποία αναπαριστούν την ακολουθία διδασκαλίας.

Αυτή η προσέγγιση μπορεί να προωθήσει τη διαδικαστική ικανότητα, ωστόσο η ισόμετρη ανάπτυξη της εννοιολογικής κατανόησης δεν είναι εγγυημένη (Threlfall, 1996; Baroody, 1989). Υπάρχει η πιθανότητα οι μαθητές με τις μαθησιακές δυσκολίες να κρεμαστούν επάνω στα υλικά ως δεκανίκια για να τους επιτρέψουν να πραγματοποιήσουν τις διαδικασίες και να παραμείνουν έτσι παρακωλυμένοι, καθώς προχωρούν σε περισσότερο αφηρημένες στρατηγικές. Ανησυχίες για τη χρήση υπολογιστικών βοηθημάτων από τους μαθητές - όπως, κύβοι, αριθμογραμμές ή τετράγωνα με βάση το εκατό - τοποθετούνται λανθασμένα. Είναι πιο χρήσιμο για τους δασκάλους να σκεφτούν για τον τρόπο με τον οποίο η μαθηματική σκέψη των μαθητών αναπτύσσεται με τη χρησιμοποίηση των ιδιαίτερων εργαλείων (Hiebertetal., 1997).

Γνωρίζοντας ότι η αριθμητική σκέψη των παιδιών είναι διαφορετική από αυτή των ενηλίκων έχει σημασία να μην επιβάλουμε στα παιδιά διαδικασίες που βασίζονται σε περιπλοκότερη γνώση. Παραδείγματος χάρη, πολλοί ενήλικοι θα μπορούσαν να λύσουν το ακόλουθο πρόβλημα με αφαίρεση:

 

Ο Αντώνης (Tony) έχει 4 αυτοκόλλητες ετικέτες ποδοσφαίρου στη συλλογή του. Πόσες περισσότερες θα χρειαστεί να πάρει για να έχει 9 στη συλλογή του;

Αν και αυτό το πρόβλημα μπορεί πράγματι να λυθεί με την αφαίρεση δεν υπάρχει τίποτα στη γλώσσα του προβλήματος που να προτείνει μια χωριστή δράση σε ένα παιδί· στην πραγματικότητα είναι ένα πρόβλημα: 4+ x = 9. Εξελικτικά, αυτό είναι ένας κεντρικός τύπος προβλήματος για τα παιδιά. Ένα παιδί που χρησιμοποιεί τα συγκεκριμένα υλικά για να διαμορφώσει μια λύση πρέπει να είναι σε θέση να προγραμματίσει μπροστά. Αρχικά το παιδί πρέπει να κάνει ένα σύνολο 4, έπειτα να μετρήσει προς το 9· τα νέα στοιχεία που μετριούνται πρέπει να κρατηθούν χωριστά από το πρώτο σύνολο. Τα παιδιά που είναι σε ένα ανερχόμενο στάδιο άμεσης διαμόρφωσης δεν θα είναι σε θέση να λύσουν αυτό το πρόβλημα εάν είναι ανίκανα να διατηρήσουν αυτά τα δύο ευδιάκριτα σύνολα. Είναι ανώφελο να το υπερβούμε αυτό και να παρουσιάσουμε στα παιδιά πώς να λύσουν αυτόν τον τύπο προβλήματος από άλλες διαδικασίες όπως η αφαίρεση. Αυτός ο τύπος διαδικαστικής οδηγίας μπορεί να προαγάγει «το πώς» αλλά «το γιατί» είναι πιθανό να παραμείνει αναπάντητο. Κατά συνέπεια παρέχοντας στους μαθητές διαδικασίες που μπορούν να αναπαραστήσουν μέσω της χρήσης μιας κατάταξης διαφοροποίησης υλικών και αξιοποίησης χειροπιαστών αντικειμένων, η συσκευή γίνεται ένα δεκανίκι που χρησιμοποιείται μηχανιστικά για να φθάσουν σε μια απάντηση και που οι μαθητές γίνονται απρόθυμοι να απορρίψουν. Αυτή η μηχανιστική χρήση των υλικών είναι πολύ διαφορετική από μια ευέλικτη χρήση των υλικών ως εργαλεία για κατανόηση.

Τα παιδιά που πασχίζουν στην εκμάθηση των μαθηματικών όχι μόνο θα κρεμαστούν επάνω στα υλικά ως δεκανίκια αλλά θα χρησιμοποιήσουν επίσης ανεπαρκείς διαδικασίες μέτρησης που τα περιορίζουν από το να προχωρήσουν σε αποτελεσματικότερες στρατηγικές λύσης (GrayandTall, 1993). Εντούτοις, οι διαισθητικές στρατηγικές μέτρησης των παιδιών συνδέονται συχνά στενά με την άμεση διάπλαση και γίνεται ένα ζήτημα αποτελεσματικής δυναμικής αξιολόγησης η χρήση της γνώσης των στρατηγικών λύσης των παιδιών για να ενημερωθεί η διδασκαλία (Carpenteretal, 1999). Η χρησιμοποίηση των συγκεκριμένων υλικών για να αναπαραστήσουν και να κατανοήσουν τα προβλήματα παρέχει στα παιδιά την ευκαιρία να κινηθούν προς περισσότερο αφηρημένη σκέψη, καθώς αυτές οι εξωτερικές ενέργειες έρχονται να εσωτερικοποιηθούν (Gray, PittaandTall, 2000). Από μια προοπτική δομισμού η εκμάθηση φαίνεται ως παραγωγική διαδικασία, δεδομένου ότι καθώς η κατανόηση των αριθμών από τα παιδιά και η συνειδητοποίηση της πολυπλοκότητας και των σχέσεων μεταξύ των αριθμών αυξάνονται, γίνονται ικανά να λύσουν τα προβλήματα με μια ευρύτερη ποικιλία τρόπων.

Επίλογος

Αρκετά χρόνια πριν ο Watson (2001)  δείξει τη δυνατότητα των προσεγγίσεων του δομισμού δουλεύοντας με παιδιά με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες στον τομέα των μαθηματικών, η ανάπτυξη μιας παιδαγωγικής και διδακτικής μεθοδολογίας που βασίζεται στη θεωρία του δομισμού μας έχει δείξει ότι οι συμμετέχοντες μαθητές με μέτριες μαθησιακές δυσκολίες ήταν σε θέση να χρησιμοποιήσουν υλικά με τρόπους που ενθάρρυναν μια σημαντική εκμάθηση. Εντούτοις αυτό απαίτησε από τους δασκάλους ειδικής αγωγής και εκπαίδευσης να γνωρίζουν το σκοπό αυτών των υλικών και για πολλούς δασκάλους αυτό σήμαινε μια αναθεώρηση της λειτουργίας των συγκεκριμένων υλικών μέσα στις τάξεις τους.

Η πρόκληση τώρα είναι αυτή της ανάπτυξης της γνώσης των δασκάλων ειδικής αγωγής και εκπαίδευσης για τη μαθηματική σκέψη των παιδιών να επεκταθεί και να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά για όλους τους μαθητές στην τάξη. Στην περίπτωση που οι δάσκαλοι δεν κατανοούν και δεν προσπαθούν να αναδείξουν στη δόμηση των προγραμμάτων τις διαφοροποιήσεις των υλικών και διατηρήσουν δομές υποστήριξης και προτείνουν τη χρήση των υλικών κατά τέτοιο τρόπο ώστε αυτά να λειτουργούν ως δεκανίκια, αυτοί περιορίζουν τις δυνατότητες ανάπτυξης της διαδικαστικής σκέψης. Η χρήση και αξιοποίηση της διαφοροποίησης των υλικών ως κατανοητά εργαλεία είναι κεντρική σε αυτήν τη διαδικασία και υπάρχει ανάγκη να εξεταστεί σε σχέση με το είδος των συνθηκών εκμάθησης που θα  επιτρέπει τα παιδιά να μάθουν να κατανοούν έννοιες στα μαθηματικά και να επιλύουν αριθμητικά προβλήματα..

Βιβλιογραφία

Askew, M., Brown, M.. Rhodes. V.,Johnson. D. & Wjjjam. D. (1997) Effective Teachers of Numeracy - Final Report: report of a study carried out for the Teacher Training Agency 1995-1996by the School of Education, King's College London. London: King's College.

Baroody, A J. (1996) Self-invented addition strategies by children with mental Retardation. American Journal on Mental Retardation* 101, 72-89.

Baroody, A.J. (1989) Manipulatives don't come with guarantees. Arith­metic Teacher, 37, 2, 4-5.

Baroody, A.J. (2003) The development of adaptive expertise and flex­ibility: the integration of conceptual and procedural knowledge. In A.J. Baroody & A. Dowker (eds.). The Development of Arithmetic Concepts and skills: constructing adaptive expertise. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Behrend, J.L. (1994) Mathematical Problem-Solving Processes of Primary Grade Students Identified as Learning Disabled. Unpublished PhD. Thesis, University of Wisconsin - Madison.

Behrend, J.L. (2003) Learning-disabled students make sense of math­ematics. Teaching Children Mathematics, 9, 5, 269-274.

Bills, C. (1998) Relations between teacher's representations and pupil's images. In Informal Proceedings 18, I & 2 of the British Society for Research in Mathematics Education, available at www.bsrlm.org.uk

Bottge. B.A., Rueda, E., Laroque, P.T., Serlin, R.C. & Kwon. J. (2007) Integrating reform-oriented maths instruction in special edu­cation settings. Learning Disabilities Research and Practice, 22, 2, 96-109.

Carpenter, T., & Moser, J. (1982) The development of addition and subtraction problem-solving skills. In T. Carpenter, J. Moser, & T. Romberg (eds.). Addition and Subtraction: a cognitive perspective. Hillsdale. NJ: Lawrence Erlaum Associates.

Carpenter, T., Fennema, E, Franke, M. L., Levi, L. & Empson, S.B. (1999) Children's Mathematics - cogratively guided instruction. Portsmouth, NH: Heinemann.

Carpenter, T., Fennema, E, Peterson, P.lL, Chiang, CP. & Loef, M. (1989) Using knowledge of children's mathematical thinking in classroom teaching; an experimental study. American Edu­cational Research Journal, 26, 4, 499-531.

Carpenter, T., Fennema, E, Peterson, P.lL, P.L. & Carey, D.A. (1988) Teachers' pedagogical content knowledge of students' problem solving in elementary arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 19, 5. 385-401.

Clements, D.H. & Mcmullen, S. (1996) Rethinking 'concrete' manipulatives. Teaching Children Mathematics, 2, 270-279.

Clements, D.H. (1999) Concrete manipulatives, concrete ideas. Con­temporary issues in Early Childhood, 1,1, 45-60.

Cobb, P. (1995) Cultural tools and mathematical learning: a case study. Journal for Research in Mathematical Learning, 26,4. 362-385.

Davis. R.B. (1996) Children's mathematical development. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 100-106.

Doweker. A. (2004) What Works for Children with Mathematical Diffi­culties? Research Report RR554. University of Oxford: DfES Publications available online at www.dfespubiications.gov.uk

Fennena. E. & Romberg, T.A. (eds.) (1999) Mathematics Class­rooms that Promote Understanding. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Publishers.

Franke, M.L. & Kazem. E. (2001) Learning to teach mathematics: focus on student thinking. Theory into Practice, 40, 2. 102-109. 

Geary. D.C.. Hamson. CO. & Hoard. M.K. (2000) Numerical and arithmetical cognition: a longitudinal study of process and concepts deficits in children with learning disability.Journal of Experimental Child Psychology. 77. 236-263

Gray, E. & Tall, D. (1993) Success and failure in mathematics: the flexible meaning of symbols as process and concept.Mathematics Teaching, 142. 6-10.

Gray, E. Pitta. D. & Tall. D. (2000) Objects, actions and images: a perspective on early number development. Journal of Mathematical Behavior 18. 4. 401-413.

Hiebert, J. & Lefevre. P. (1986) Conceptual and procedural knowl­edge in mathematics: an introductory analysis. In J. Hicben (cd.). Conceptual and Procedural Knowledge: the case of mathematics. Hillsdale. NJ: Erlbaum.

Hiebert, J.. Carpenter, T.P., Fenema, E.. Fuson. K.. Human. P.. Murray, H.. Olivier. Α.. & Wearne, D. (1997) Making Sense: leaching and learning mathematics with understanding. Ports­mouth, NH: Heinemann.

Jordan, N.C & Montani, T.O. (1997) Cognitive arithmetic and problem solving: a comparison of children with specific and general mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities. 30,624-634.

Moscardini, L. (2009) Toolsorcrutches? Apparatus as a sense-making aid in mathematics teaching with children with moderate learning difficulties. The Author(s). Journal compilation © 2009 NASEN. Biackwell Publishing, 137-145.

Moyer, P.S. (2001) Are we having fun yet? How teachers use manipu­latives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47, 175-197.

Ostad, S.A. (1997) Developmental differences in addition strategies: comparisons of mathematically disabled and mathematically normal children. Journal of Educational Psychology, 67. 345-357.

Ostad, S.A. (1999) Developmental progression of subtraction strategies: a comparison of mathematically normal and mathematically disabled children. Mathematics Cognition, 4, 1-20.

Piaget. J. (1965) 77ie Child's Concept of Number. New York: Routledge.

Shulman, L.S. (1986) Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15, 2,4?14.

Skemp, R.R. (1976) Relational and instrumental understanding. Math­ematics Teaching, 77, 20-26.

Steffe. L. P.. Von Glaserfeld. E.. Richards, J. & Cobb. P. (1983) Children's Counting Types: philosophy, theory, and application.New York: Praeger.

Thomas. G. & Loxley, A. (2007) Deconstructing Special Education and Constructing Inclusion. Berkshire: OUP.

Threlfall, J. (1996) The role of practical apparatus in teaching and learning. Educational Review, 48. 1, 3-12.

Thyer. D. & Maggs, J. (1992) Teaching Mathematics to Young Chil­dren. London: C as sell.

Twomey Fosnot, C. & Dolk, M. (2001) Constructing Number Sense. Addition and Subtraction. Portsmouth, NH: Heinemann.

Watson. J. (1996) Reflection through Interaction: the classroom experi­ence of pupils with learning difficulties. London: Falmer.

Watson. J. (2001) Social constructivism in the classroom. Support for Learning, 16. 3. 140-148.

Westwood. P. (1993) Commonsense Methods for Children with Special Educational Needs. London: Routledge.

Yackel. E. & Rasmussen, C. (2003) Beliefs and norms in mathemati-
cal classrooms. In G.C. Leder, E. Pehkonen & G. Tomer (eds.). Beliefs:
a hidden variable in mathematics education? Dordrcct, Netherlands:
KJuwer Academic Publishers.           

Αnghtler, J. (2000) Teaching Number Sense. London: Continuum.

Νόμος 3699/2008 «Ειδική Αγωγή και Εκπαίδευση Ατόμων με Αναπηρία ή με Ειδικές Εκπαιδευτικές Ανάγκες», ΦΕΚ Α 199/02.10.2008

Υπ.Ε.Π.Θ.-Π.Ι. (1996). Πλαίσιο Αναλυτικού Προγράμματος Ειδικής Αγωγής. Προεδρικό Διάταγμα 301/1996.

Υπ.Ε.Π.Θ.-Π.Ι. (2009α). Δραστηριότητες Μαθησιακής Ετοιμότητας. α) Προφορικός λόγος, β) Ψυχοκινητικότητα, γ) Νοητικές Ικανότητες, δ) Συναισθηματική Οργάνωση. Βιβλίο για τον δάσκαλο. Εκδ. Δ? Αθήνα: Ο.Ε.Δ.Β.

Υπ.Ε.Π.Θ.-Π.Ι. (2009β). Δραστηριότητες Μαθησιακής Ετοιμότητας. Βιβλοτετράδια  για το μαθητή: α) Προφορικός λόγος, β) Ψυχοκινητικότητα, γ) Νοητικές Ικανότητες, δ) Συναισθηματική Οργάνωση. Εκδ. Γ? Αθήνα: Ο.Ε.Δ.Β.

ΥΠΕΠΘ, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο : www.pi-schools.gr/Τμήμα Ειδικής Αγωγής και Εκπαίδευσης / Δραστηριότητες Μαθησιακής Ετοιμότητας, Βιβλίο Εκπαιδευτικού Ειδικής Αγωγής και Εκπαίδευσης / Βιβλιοτετράδια μαθητή (ημ. πρόσβασης 10-07-09)